авторефераты диссертаций www.x-pdf.ru
БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА
 

На правах рукописи

Трямкин Максим Владимирович

Актуальные вопросы теории отображений с

ограниченным искажением на метрических структурах

01.01.01 — вещественный, комплексный и функциональный анализ

Автореферат

диссертации на соискание учёной степени

кандидата физико-математических наук

Новосибирск — 2015

Работа выполнена в Федеральном государственном автономном образова-

тельном учреждении высшего образования «Новосибирском национальном

исследовательском государственном университете».

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор

Водопьянов Сергей Константинович.

Официальные оппоненты:

Дубинин Владимир Николаевич, член-корреспондент РАН, доктор

физико-математических наук, профессор, Федеральное государственное бюд-

жетное учреждение науки Институт прикладной математики Дальневосточ-

ного отделения Российской академии наук, заведующий лабораторией мате-

матического анализа;

Клячин Алексей Александрович, доктор физико-математических наук,

доцент, Федеральное государственное автономное образовательное учрежде-

ние высшего профессионального образования «Волгоградский государствен-

ный университет», заведующий кафедрой математического анализа и теории

функций института математики и информационных технологий.

Ведущая организация:

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение выс-

шего образования «Казанский (Приволжский) федеральный университет».

Защита состоится «10» декабря 2015 г. в 16:40 на заседании диссертацион-

ного совета Д 003.015.03, созданного на базе Федерального государственного

бюджетного учреждения науки Института математики им. С. Л. Соболева

Сибирского отделения Российской академии наук, по адресу: 630090, г. Ново-

сибирск, пр. Академика Коптюга, д. 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке и на сайте Федераль-

ного государственного бюджетного учреждения науки Института матема-

тики им. С. Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук,

http://math.nsc.ru/.

Автореферат разослан «

»

2015 г.

Учёный секретарь

диссертационного совета

Егоров Александр Анатольевич

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Во второй половине 1960-х гг. Ю. Г. Решетняк

заложил основы теории отображений с ограниченным искажением. Моно-

графия [1] содержит всестороннее изложение результатов Ю. Г. Решетняка

в этой области. Теорию отображений с ограниченным искажением следу-

ет рассматривать как естественное обобщение теории аналитических функ-

ций на многомерные евклидовы пространства. Напомним точное определе-

ние. Пусть Ω — область в евклидовом пространстве Rn, n

2. Отображе-

ние f = (f1,...,fn): Ω Rn класса Соболева Wn,loc(Ω) называется отоб-

ражением с ограниченным искажением, если для почти всех x ∈ Ω вы-

полняется неравенство |Df(x)|n

KJ(x,f), где K ∈ [1,∞) — постоянная,

Df(x) = (∂x (x))i,j=1,...,n — матрица Якоби, |Df(x)| и J(x,f) — её оператор-

j

ная норма и определитель соответственно. В последние десятилетия активно

исследуются классы отображений, удовлетворяющие различным обобщениям

сформулированного определения. Здесь прослеживаются два направления: с

одной стороны, оставаясь в рамках пространства Rn, можно менять усло-

вие регулярности и характеристику искажения, с другой — можно заменить

евклидово пространство на метрическую структуру более общей природы и

вводить адекватные этой природе аналоги функционального класса и условия

искажения. Отметим, что в настоящей работе получены новые результаты в

каждом из этих направлений.

Изучение отображений с ограниченным искажением и их обобщений

ведётся двумя методами: аналитическим и геометрическим.

Основы аналитического подхода заложены Ю. Г. Решетняком. Этот

подход заключается в использовании исчисления внешних дифференциаль-

ных форм, теории пространств С. Л. Соболева и аппарата уравнений в част-

ных производных эллиптического типа. Поясним сказанное подробнее. Сна-

чала сформулируем важнейший топологический результат Ю. Г. Решетняка.

Теорема 1 ( [1, гл. 2, § 6]). Пусть Ω — область в Rn и f : Ω Rn — отоб-

ражение с ограниченным искажением, отличное от постоянного. Тогда f

непрерывно, открыто и дискретно.

Фундаментальную роль в доказательстве этой теоремы играет свойство мор-

физма решений некоторых эллиптических уравнений [1, гл. 2, теорема 5.1]: ес-

ли f : Ω Ω — отображение с ограниченным искажением, где Ω, Ω суть от-

крытые множества в Rn, и функция v ∈ C2(Ω) является решением уравнения

div(|∇v(y)|n-2∇v(y)) = 0, то композиция u = v ∘ f служит обобщённым ре-

шением уравнения div A (x,∇u(x)) = 0, где A (x,ξ) = ⟨G(x)ξ,ξ⟩(n-2)/2G(x)ξ.

Здесь угловые скобки обозначают скалярное произведение в Rn, а G — это

3

1

∂fi

матричная функция, определённая почти всюду в Ω следующим образом:

(Df(x)*Df(x))-1J(x,f)2/n, если J(x,f) = 0,

G(x) =

Id,

если J(x,f) = 0.

В свою очередь, само свойство морфизма устанавливается на основе того

факта, что для дифференциальных форм ω степени n - 1 справедливо соот-

ношение

d(f#ω) = f#dω,

(1)

где внешний дифференциал d понимается в смысле распределений. В евкли-

довых пространствах равенство (1) доказывается с помощью аппроксимации

f гладкими отображениями [1, гл. 2, § 4].

Перейдём к обсуждению аналитического подхода в теории отображе-

ний с ограниченным искажением на неевклидовых структурах, на который

мы опираемся в главе 3. Ю. Хейнонен и И. Холопайнен [2] исследовали упо-

мянутые отображения на группах Карно, однако определение класса Собо-

лева, которое они использовали, нельзя считать естественным: в [2] требует-

ся, чтобы компоненты отображения имели обобщённые производные вдоль

негоризонтальных векторных полей. Н. С. Даирбеков (см., например, [3]) на

основе подходе Ю. Г. Решетняка получил основные топологические свойства

отображений с ограниченным искажением на группе Гейзенберга. В рабо-

те [4] показано, что доказательство соотношения (1) на группах Карно ведет

к нежелательным последствиям: гладкие отображения, аппроксимирующие

f, не сохраняют горизонтальную структуру. В связи с этим возникла необхо-

димость в выработке нового подхода к проверке равенства (1).

В статье [5] С. К. Водопьянов предложил новый подход к доказатель-

ству соотношения (1) на двухступенчатых группах Карно. Метод, разрабо-

танный в [5], основан на рафинированном использовании формулы замены

переменной с топологической степенью и позволяет установить (1), не исполь-

зуя аппроксимацию f гладкими функциями. В настоящей работе мы, опира-

ясь на подход, развитый в [5], показываем, что заключение теоремы 1 спра-

ведливо для отображений с ограниченным искажением на группе поворотов-

сдвигов, которая входит в список трёхмерных групп Ли, наделённых левоин-

вариантной субримановой структурой (см. [6]).

Во второй главе диссертации мы пользуемся геометрическим методом

в теории отображений с ограниченным искажением в евклидовых простран-

ствах. Этот метод основан на оценках искажения модулей семейств кривых

(или, если этого достаточно, ёмкостей конденсаторов). Понятие модуля семей-

ства кривых на плоскости было введено в 1950 г. Л. Альфорсом и А. Бьёрлин-

гом [7], а затем распространено на многомерные пространства Б. Фугледе [8]

4

̸

ρp(x) dx.

modp Γ =

inf

ρ∈adm Γ

Rn

Впервые метод модулей к исследованию отображений с ограниченным

искажением применил Е. А. Полецкий [10] в 1970 г. Опираясь на упомяну-

тые топологические характеристики, Е. А. Полецкий с помощью процедуры

поднятия путей установил свойства некоторого специального отображения,

известного сегодня как функция Полецкого. Это позволило доказать, что

справедлива следующая

Теорема 2 ( [10, теорема 1]). Пусть f : Ω Rn — отображение с ограни-

ченным искажением и Γ — семейство кривых в области Ω. Тогда

modn f(Γ)

K(f) modn Γ.

Последнее утверждение в наши дни называется неравенством Полецкого.

В той же работе [10] получено некоторое улучшение этого неравенства в нор-

мальных областях (см. [10, теорема 2]). Полезная интерпретация последнего

была получена Ю. Вяйсяля [11, 3.1] и называется в литературе неравенством

Вяйсяля. Немногим ранее О. Мартио [12], а таже О. Мартио, С. Рикман и

Ю. Вяйсяля [13] установили аналогичные оценки для ёмкости. Отметим, од-

нако, что модульные неравенства суть более общие, чем соответствующие

ёмкостные (см., например, [14, пример 1]). Оценки для модуля и ёмкости иг-

рают ключевую роль в исследовании поведения отображения на границе, в

теории распределения значений в духе Неванлинны (теоремы типа Лиувил-

ля и Пикара, устранение особенностей) (см. монографию С. Рикмана [15]), в

св´

дилатации с минимальной кратностью ветвления и др. Отметим также,

что метод модулей широко используется для решения задач теории функций

на плоскости. В этом отношении следует упомянуть две работы: вышедшую в

2002 г. монографию А. Ю. Васильева [16] и вышедшую в 2009 г. монографию

В. Н. Дубинина [17].

5

и Б. В. Шабатом [9]. На языке этого понятия было сформулировано одно из

эквивалентных описаний квазиконформных отображений, в связи с чем ме-

тод модулей приобрёл важное значение в работе с этим классом отображений,

позволив найти альтернативный подход к их изучению. Необходимость в та-

ком подходе была вызвана отсутствием в многомерных пространствах теоре-

мы Римана. Напомним определение. Пусть Γ — семейство кривых в Rn, n

2.

Борелевская функция ρ: Rn[0,∞] называется допустимой для семейства

Γ, если для всякой локально спрямляемой кривой γ ∈ Γ имеем

ρ ds

1.

Через adm Γ обозначим совокупность всех допустимых для Γ функций. Пусть

p ∈ [1,∞). p-Модулем семейства кривых Γ называется величина

γ

язи

Подход, основанный на модульных и ёмкостных оценках, как пока-

зывает ряд недавно вышедших работ (см., например, монографии [18, 19]),

продолжает оставаться основным инструментом в изучении различных обоб-

щений отображений с ограниченным искажением. В 2015 г. вышла статья

А. Н. Байкина и С. К. Водопьянова [20], в которой сформулировано есте-

ственное обобщение класса отображений, введённых Ю. Г. Решетняком — так

называемые отображения с весовым ограниченным (p,q)-искажением. В [20]

получены ёмкостные оценки для введённого класса отображений без пред-

положения об условии Лузина N , которое в предшествующих работах либо

постулировалось, либо автоматически выполнялось. Для отображений из но-

вого класса это условие может и не иметь места, поскольку (по определению)

они принадлежат классу Wq,loc(Ω), где q n - 1. Во второй главе диссер-

тации мы получаем модульные неравенства (например, аналог теоремы 2)

для отображений с весовым ограниченным (p,q)-искажением без некоторых

аналитических предположений, характерных для выводов результатов пред-

шествующих работ, в частности, без N -свойства Лузина. Это оказывается

возможным благодаря следующему замечательному факту, установленному

С. К. Водопьяновым [20,21]: частные производные функции Полецкого обра-

щаются в нуль почти всюду на образе множества точек ветвления.

Целями данной работы являются:

1) изучение геометрическим методом класса отображений с весовым огра-

ниченным (p,q)-искажением;

2) изучение отображений с ограниченным искажением на одном из модель-

ных примеров пространства Карно — Каратеодори;

3) изучение квазиконформных отображений на пространствах Карно — Ка-

ратеодори.

Для достижения поставленных целей необходимо было решить следу-

ющие задачи:

1) для отображений с (θ,1)-весовым ограниченным (p,q)-искажением полу-

чить аналог леммы Полецкого и на его основе установить оценки на ис-

кажение модулей семейств кривых;

2) распространить основополагающий топологический результат Ю. Г. Ре-

шетняка на модельный пример пространства Карно — Каратеодори —

группу поворотов-сдвигов;

3) решить вопрос о свойстве абсолютной непрерывности квазиконформных

отображений пространств Карно — Каратеодори на интегральных кри-

вых негоризонтальных векторных полей.

6

1

Методы исследований. В работе используются методы теории

функций вещественного переменного, геометрического анализа, квазикон-

формного анализа и анализа на метрических пространствах (в том числе

на субримановых многообразиях).

Основные положения, выносимые на защиту:

1) Для отображений с (θ,1)-весовым ограниченным (p,q)-искажением уста-

новлен аналог леммы Полецкого.

2) Для отображений с (θ,1)-весовым ограниченным (p,q)-искажением полу-

чены модульные неравенства типа Полецкого и Вяйсяля.

3) Установлено свойство морфизма субэллиптических уравнений для отоб-

ражений с ограниченным искажением, область определения которых ле-

жит в группе поворотов-сдвигов, а область значений — в группе Гейзен-

берга. В качестве следствия получено, что всякое непостоянное локально

ограниченное отображение с ограниченным искажением, области опреде-

ления и значений которого лежат в группе поворотов-сдвигов, непрерыв-

но, открыто и дискретно.

4) Доказано, что квазиконформные отображения пространств Карно — Ка-

ратеодори абсолютно непрерывны не только на интегральных кривых го-

ризонтальных векторных полей, но и на интегральных линиях векторных

полей более высокой степени.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются

новыми.

Теоретическая и практическая значимость. Результаты диссер-

тации носят теоретический характер и могут быть полезны для специалистов

по квазиконформному анализу и геометрической теории функций. Результа-

ты диссертационного исследования могут включаться в спецкурсы для сту-

дентов, магистрантов и аспирантов высших учебных заведений.

Апробация работы. Основные результаты работы прошли апроба-

цию на следующих конференциях: школа-конференция по геометрическому

анализу (Горно-Алтайск, 2012, 2014); международная конференция «Дни гео-

метрии в Новосибирске, 2012», посвящённая 100-летию со дня рождения ака-

демика Александра Даниловича Александрова (Новосибирск, 2012); между-

народная школа-конференция «Управление и оптимизация неголономных си-

стем» (Переславль-Залесский, 2013); международная молодёжная конферен-

ция «Геометрия и управление» (Москва, 2014); международная конференция

«Дни геометрии в Новосибирске – 2015» (Новосибирск, 2015).

Результаты диссертации неоднократно обсуждались на следующих се-

минарах: семинар по геометрическому анализу (Институт математики им.

7

С. Л. Соболева СО РАН, Новосибирск; руководитель: д.ф.-м.н., профессор

С. К. Водопьянов); семинар лаборатории геометрической теории управления

(Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, Новосибирск; руково-

дитель: д.ф.-м.н., профессор А. А. Аграчёв); семинар отдела анализа и гео-

метрии (Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, Новосибирск;

руководитель: академик РАН, д.ф.-м.н., профессор Ю. Г. Решетняк).

Диссертационная работа была выполнена при частичной поддержке

гранта Правительства Российской Федерации для государственной поддерж-

ки научных исследований (договор № 14.B25.31.0029), Российского фонда

фундаментальных исследований (проект № 14-01-00552), Совета по грантам

Президента Российской Федерации (проект № НШ-2263.2014.1).

Публикации. Результаты автора по теме диссертации опубликова-

ны в 9 работах [A1–A9], из них 3 статьи [A1–A3] опубликованы в изданиях,

входящих в перечень ВАК российских рецензируемых научных журналов,

в которых должны содержаться основные научные результаты диссертаций

на соискание учёных степеней доктора и кандидата наук. Работы [A4–A9]

опубликованы в тезисах докладов и материалах конференций.

Объём и структура работы. Диссертация состоит из введения,

трёх глав (разбитых на параграфы), заключения и списка литературы. Спи-

сок литературы, за исключением выделенных в отдельную часть работ авто-

ра по теме диссертации, содержит 130 наименований и приведён в порядке

цитирования. Объём диссертации — 112 страниц.

В главах все утверждения (теоремы, леммы, предложения, следствия,

замечания) пронумерованы тремя числами: первое является номером главы,

второе — номером параграфа в главе, третье — порядковым номером утвер-

ждения в данном параграфе. Нумерация формул сквозная.

Содержание работы

Далее нумерация предложений, теорем и следствий совпадает с тако-

вой в тексте диссертации.

Во введении обосновывается актуальность исследований, проводи-

мых в рамках данной диссертационной работы, приводится обзор научной

литературы по изучаемой проблеме, а также обзор содержания диссертации.

Глава 1 посвящена предварительным сведениям, которые будут ис-

пользоваться в дальнейшем.

В главе 2 изучается класс отображений с весовым ограниченным

(p,q)-искажением, недавно введённый С. К. Водопьяновым. Определение это-

8

го класса, который служит естественным обобщением класса отображений в

смысле Ю. Г. Решетняка, сформулировано в параграфе 2.1.

Определение. Пусть θ,σ : Rn[0,∞] — локально суммируемые функции

(называемые весовыми) такие, что θ 0, σ 0 почти всюду. Отображение

f : Ω Rn называется отображением с (θ,σ)-весовым ограниченным (p,q)-

искажением, n - 1 q

p ∞, если:

1) f непрерывно, открыто и дискретно;

2) f принадлежит классу Соболева Wq1 (Ω);

3) J(x,f)

0 для почти всех x ∈ Ω;

4) отображение f имеет конечное искажение:

для почти всех x ∈ Ω равенство J(x,f) = 0 влечёт Df(x) = 0;

5) функция локального (θ,σ)-весового q-искажения

, если J(x,f) = 0,

если J(x,f) = 0,

̸

,loc

1

θ (x)|Df(x)|

1

1

p

p

0,

q

θ,σ

σ (f(x))J(x,f)

Ω ∋ x → Kq (x,f) =

1

1

1

κ

q

p

принадлежит классу Lκ(Ω), где κ находится из условия

=

-

(κ =

при q = p).

Через Kq,p (f; Ω) обозначим величину ‖Kq (·,f) | Lκ(Ω).

Обратим внимание, что в данное определение не входят некоторые

предположения, характерные для результатов предшествующих работ. В

частности, при q ∈ (n-1,n) отображение f может и не обладать N -свойством

Лузина.

Далее мы исследуем свойства отображений в случае, когда σ ≡ 1.

В параграфе 2.2 вводится понятие кривой в Rn и формулируется

важнейшее в главе 2 понятие весового модуля семейства кривых.

Определение. Для весовой функции ω : Rn[0,∞] и p ∈ [1,∞) определим

ω-весовой p-модуль семейства кривых Γ формулой

modω Γ = inf

ρp(x)ω(x) dx,

Rn

где точная нижняя грань берётся по всем борелевским функциям ρ: Rn

[0,∞] таким, что

ρ ds

1 для каждой локально спрямляемой кривой γ ∈ Γ.

В параграфе 2.3 устанавливается аналог леммы Полецкого для отоб-

ражений с (θ,1)-весовым ограниченным (p,q)-искажением. Эта лемма играет

ключевую роль в доказательстве модульных неравенств.

9

θ,σ

θ,σ

p

γ

При ω ≡ 1 пишем просто modp Γ.

Сначала в параграфе 2.3 формулируется понятие абсолютной пред-

непрерывности. Предположим, что f : Ω Rn — непрерывное открытое дис-

кретное отображение. Пусть β : I0Rn — замкнутая спрямляемая кривая, и

α: I → Ω — кривая такая, что f∘α ⊂ β, т. е. I ⊂ I0. Если функция длины дуги

: I0[0,ℓ(β)] постоянна на некотором интервале J ⊂ I, то и отображение

β постоянно на J (см. определение функции длины дуги, например, в [15]).

В свою очередь, ввиду дискретности f отображение α также постоянно на J.

Следовательно, существует единственное отображение α* : (I) Ω такое,

что α = α* ∘ sβ|I. Легко видеть, что α* непрерывно и f ∘ α* ⊂ β0. Кривая α*

называется f-представителем кривой α (относительно β), если β = f ∘ α.

Предположим теперь, что β = f ∘ α. Отображение f называется абсолютно

преднепрерывным на α, если α* абсолютно непрерывно.

Основным результатом параграфа 2.3 служит следующий аналог

леммы Полецкого.

Лемма 2.3.1 ( [A3]). Пусть f : Ω Rn — отображение с (θ,1)-весовым

ограниченным (p,q)-искажением, n - 1 q

p ∞, а весовая функция

n-1

ω(x) = θ-

(x) локально суммируема. Предположим, что Γ — семей-

ство кривых в Ω такое, что для любой кривой γ ∈ Γ выполнено следую-

щее: кривая f ∘ γ локально спрямляема, и γ имеет замкнутую подкривую

p

p-(n-1)

В параграфе 2.4 доказываются модульные неравенства типа Полец-

кого и Вяйсяля. Основные результаты этого параграфа — это следующие две

теоремы.

Теорема 2.4.1 ( [A3]). Пусть f : Ω Rn — отображение с (θ,1)-весовым

ограниченным (p,q)-искажением, n - 1 q

p ∞, а весовая функция

n-1

ω(x) = θ-

(x) локально суммируема. Если Γ — семейство кривых в

области Ω, то справедливо неравенство

q

q-(n-1)

где p′ =

Теорема 2.4.2 ( [A3]). Пусть f : Ω Rn — отображение с (θ,1)-весовым

ограниченным (p,q)-искажением, n - 1 q

p ∞, а весовая функция

n-1

ω(x) = θ-

(x) локально суммируема. Пусть Γ — семейство кривых в

Ω, Γ — семейство кривых в Rn, и m — положительное целое число. Предпо-

ложим, что выполняется следующее условие: для каждой кривой β : I → Rn

в Γ существуют кривые α1,...,αm в Γ такие, что для всех x ∈ Ω и t ∈ I

10

q-(n-1)

α, на которой f не абсолютно преднепрерывно.

p′ =

.

Тогда modp f(Γ) = 0, где

q-(n-1)

(modp f(Γ))1/p

θ,1

Kp,q (f; Ω)n-1(modω Γ)1/q,

q′

p

p-(n-1)

, q′ =

.

q-(n-1)

равенство αj(t) = x справедливо не более чем для i(x,f) значений индекса j.

Тогда

q

q-(n-1)

где p′ =

Из последней теоремы вытекает

Следствие 2.4.1 ( [A3]) . Пусть f : Ω Rn — отображение с (θ,1)-весовым

ограниченным (p,q)-искажением, n - 1 q

p ∞, а весовая функция

n-1

ω(x) = θ-

(x) локально суммируема. Если D — нормальная область

для f, Γ — семейство кривых в f(D), Γ — семейство кривых α в D такое,

В главе 3 изучаются отображения с ограниченным искажением на

пространствах Карно — Каратеодори (встречающиеся ниже понятия и обо-

значения соответствуют работам [A1, A2]). В параграфах 3.1–3.3 в качестве

модельного примера рассматривается группа поворотов-сдвигов. В парагра-

фе 3.1 приводятся сведения о группе поворотов-сдвигов.

Группа поворотов-сдвигов RT — это совокупность точек в R3 с групповой

операцией

(x1,y11) · (x2,y22) = (x1 + x2 cos θ1 - y2 sin θ1, y1 + x2 sin θ1 + y2 cos θ1, θ1 + θ2).

В параграфе 3.2 устанавливается свойство морфизма субэллиптиче-

ских уравнений для отображений с ограниченным искажением, область опре-

деления которых лежит в группе поворотов-сдвигов, а область значений — в

группе Гейзенберга. Приведём этот результат.

Теорема 3.2.1 ( [A2]). Пусть f : Ω Ω — отображение с ограниченным

искажением области Ω ⊂ RT в открытое множество Ω H1. Предполо-

жим, что w : Ω RC2-гладкое решение в Ω уравнения

divh(|∇hw(q)|2∇hw(q)) = 0.

Тогда композиция wf = w ∘ f есть решение в области Ω уравнения

divh A (g,∇hwf(g)) = 0,

где горизонтальная дивергенция понимается в смысле распределений,

A (g,ξ) = ⟨G(g)ξ,ξ⟩G(g)ξ, а (2 × 2)-матрица G(g) имеет вид

(det Df(g))1/2(Dhf(g)*Dhf(g))-1,

G(g) =

Id,

11

если det Df(g) = 0,

если det Df(g) = 0.

̸

θ,1

Kp,q (f; Ω)n-1

(modω Γ)1/q,

q′

m1/p

(modp Γ)1/p

p

p-(n-1)

, q′ =

.

q-(n-1)

что f ∘ α ∈ Γ, то

(modp Γ)1/p

θ,1

Kp,q (f; Ω)n-1

(modω Γ)1/q.

q′

N(f,D)1/p

В доказательстве этой теоремы используется следующее утверждение,

также сформулированное в параграфе 3.2.

Предложение 3.2.1 ( [A2]). Предположим, что f : Ω H1 — отображение

класса W4,loc(Ω; H1), Ω ⊂ RT — область. Пусть U : H1R2 — векторное

поле U = (u1,u2) ∈ C1 такое, что divh U = Au1 + Bu2 ограничено на H1, и

задана горизонтальная дифференциальная форма костепени один

ω(q) = u1(q) dB ∧ dC - u2(q) dA ∧ dC.

Тогда справедливо равенство d(f#ω) = f#, где внешний дифференциал d

понимается в смысле распределений.

Свойство морфизма позволяет получить следующий основной резуль-

тат параграфа 3.2.

Теорема 3.2.2 ( [A2]). Пусть F : Ω → RT — непостоянное локально ограни-

ченное отображение с ограниченным искажением, Ω ⊂ RT — область. То-

гда F непрерывно и открыто; оно дискретно на всякой подобласти Ω

Ω.

В параграфе 3.3 устанавливается формула замены переменной, бла-

годаря которой удаётся доказать свойство морфизма. Сформулируем основ-

ной результат параграфа 3.3 (через M обозначается связная компонента

множества ϕ-1(t), где ϕ ∈ C0 (Ω)).

Предложение 3.3.3 ( [A2]). Пусть f : Ω H1 — отображение класса

W4,loc(Ω; H1), Ω ⊂ RT — область. Для почти всех t ∈ ϕ(Ω) отображение

f : M → H1 обладает следующими свойствами:

(i) отображение f : M → H1 можно изменить на множестве Hsr-

меры нуль так, чтобы оно стало непрерывным;

(ii) f : M → H1 обладает N -свойством Лузина;

˜

(iii)

lim

для Hsr-почти всех точек g ∈ M;

dc(g′,g)

(iv) f дифференцируемо для Hsr-почти всех g ∈ M в следующем

смысле:

dc(f(g′),Df(g)[g′]) = o(dc(g′,g)) при M ∩ G ∋ g′ → g;

(v) для Hsr-почти всех g ∈ M справедливо равенство, где Mr =

Box2(g,r) ∩ M:

12

1

1

3

dc(f(g′),f(g))

3

g′→g,g′∈M

3

g

˜

3

g∈f-1(q)

u(g) dHsr(q),

M

(dc(f(exp αiX(s)),f(exp βiX(s)))l ε.

i∈N

(βi - αi) δ влечёт

i∈N

Определение. Пусть ν — хаусдорфова размерность пространства M, и Γ

семейство интегральных кривых векторного поля степени l. Назовём ν/l-

модулем этого семейства величину

modν/l Γ = inf

ρν/l dHν,

M

13

3

| det(Prf(g),k ∘Df(g)|T M)|

;

2

2

Hsr((Prk ∘f)(Mr))

Hsr(Mr)

def

J(g, Prk ∘f|M) = lim

=

r→0

3

g

ν1(g) + ν2(g)

(vii) для отображения Prk ∘f : M → H1

справедлива формула заме-

ны переменной:

0,k

3

(vi) для Hsr-почти всех g ∈ M

3

u(g)J(g, Prk ∘f|M) dHsr(g) =

H1

3

0,k

где u: M → R — измеримая функция такая, что u(g)J(g, Prk ∘f|M) инте-

грируемо на M относительно меры Hsr.

Параграф 3.4 посвящён решению следующего вопроса: обладает ли

квазиконформное отображение пространств Карно — Каратеодори свойством

абсолютной непрерывности на интегральных кривых негоризонтальных век-

торных полей?

Сначала в параграфе 3.4 вводятся адекватные ситуации понятия

абсолютной непрерывности и модуля семейства кривых.

Пусть f : MM — квазиконформное отображение пространств Кар-

но — Каратеодори хаусдорфовой размерности ν, и exp tX(s) — интегральная

кривая векторного поля X степени l, выходящая из точки s ∈ M, t ∈ (-a,a),

M — глубина многообразия M.

Определение. Говорят, что отображение f является l-абсолютно непрерыв-

ным (или обладает l-ACL-свойством) на интегральной кривой exp tX(s),

если для любого ε 0 найдётся δ 0 такое, что для всякого набора попарно

непересекающихся интервалов (αi,βi) [-a,a], i ∈ N, выполняется условие

3

2

He(Prf(g),k ∘Df(g))(Pr))

| det(Prf(g),k ∘Df(g)|T M)| = lim

=

He(Pr)

He(f(g)(Prk ∘Df(g))(Mr))

g

2

r→0

2

= lim

;

2

r→0

He(Mr)

что

Теорема 3.4.1 ( [A1]). Пусть M и M — пространства Карно — Каратеодори

хаусдорфовой размерности ν, и Ω M — компактно вложенное открытое

связное множество. Если отображение f : Ω Ω = f(Ω) квазиконформно,

то оно l-абсолютно непрерывно на modν/l-почти всех интегральных кривых

векторного поля степени l, 1

l

M, где M — глубина многообразия M.

Сформулированные в параграфе 3.4 определения и теорема обобща-

ют результаты работы [22].

В заключении приведены основные результаты работы и перспекти-

вы дальнейшего развития.

Список литературы

1. Решетняк Ю. Г. Пространственные отображения с ограниченным ис-

кажением. – Новосибирск: Наука, 1982. – 285 с.

2. Heinonen J., Holopainen I. Quasiregular maps on Carnot groups // J. Geom.

Anal. – 1997. – V. 7, N 1. – P. 109–148.

3. Даирбеков Н. С. Свойство морфизма для отображений с ограниченным

искажением на группе Гейзенберга // Сиб. матем. журн. – 1999. – Т. 40,

№ 4. – С. 811–823.

4. Dairbekov N. S. Mappings with bounded distortion of two-step Carnot groups

// Proceedings on Analysis and Geometry (S. K. Vodopyanov, ed.), Sobolev

Institute Press, Novosibirsk, 2000. – P. 122–155.

5. Vodopyanov S. K. Foundations of the Theory of Mappings with Bounded

Distortion on Carnot Groups // Contemporary Mathematics. – 2007. –

V. 424. – P. 303–344.

6. Agrachev A., Barilari D. Sub-Riemannian Structures on 3D Lie Groups //

Journal of Dynamical and Control Systems. – 2012. – V. 18, N 1. – P. 21–44.

7. Ahlfors L., Beurling A. Conformal invariants and function-theoretic null-sets

// Acta Math. – 1950. – V. 83. – P. 101–129.

8. Fuglede B. Extremal length and functional completion // Acta Math. –

1957. – V. 98. – P. 171–219.

9. Шабат Б. В. Метод модулей в пространстве // Докл. АН СССР. –

1960. – Т. 130. – С. 1210–1213.

14

где инфимум берётся по всем борелевским функциям ρ: M[0,∞] таким,

ρ dHl

1 для любой кривой γ ∈ Γ.

Основной результат параграфа 3.4 составляет следующая

γ

10. Полецкий Е. А. Метод модулей для негомеоморфных квазиконформных

отображений // Мат. сб. – 1970. – Т. 83 (125), № 2. – С. 261–272.

11. Väisälä J. Modulus and capacity inequalities for quasiregular mappings //

Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A I. – 1972. – N 509. – P. 1–14.

12. Martio O. A capacity inequality for quasiregular mappings // Ann. Sc. Fenn.

Ser. A I. – 1970. – N 474. – P. 1–18.

13. Martio O., Rickman S., Väisälä J. Definitions for quasiregular mappings //

Ann. Acad. Sc. Fenn. Ser. A I. – 1969. – N 448. – P. 5–40.

14. Полецкий Е. А. О стирании особенностей квазиконформных отображе-

ний // Мат. сб. – 1973. – Т. 92 (134), № 2. – С. 242–256.

15. Rickman S. Quasiregular Mappings. – Springer-Verlag, 1993. – 213 p.

16. Vasil’ev A. Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal

Mappings. – Springer-Verlag, 2002. – 211+ix p.

17. Дубинин В. Н. Емкости конденсаторов и симметризация в геометри-

ческой теории функций комплексного переменного. – Российская акад.

наук, Дальневосточное отд-ние, Ин-т прикладной математики, Владиво-

сток : Дальнаука, 2009. – 390+ix с.

18. Martio O., Ryazanov V., Srebro U., Yakubov E. Moduli in Modern Mapping

Theory. – New York, Springer, 2009. – 367 p.

19. Севостьянов Е. А. Исследование пространственных отображений гео-

метрическим методом. – Киев, Наукова думка, 2014. – 303 с.

20. Байкин А. Н., Водопьянов С. К. Емкостные оценки, теоремы Лиувилля

и об устранении особенностей для отображений с ограниченным (p,q)-

искажением // Сиб. матем. журн. – 2015. – Т. 56, № 2. – С. 290–321.

21. Водопьянов С. К. О регулярность функции Полецкого при слабых ана-

литических предположениях исходного отображения // Докл. АН. –

2014. – Т. 455, № 2. – С. 130–134.

22. Водопьянов С. К., Грешнов А. В. Аналитические свойства квазикон-

формных отображений на группах Карно // Сиб. матем. журн. – 1995. –

Т. 36, № 6. – С. 1317–1327.

15

Публикации автора по теме диссертации

A1. Трямкин, М. В. Абсолютная непрерывность квазиконформного отобра-

жения пространств Карно–Каратеодори / М. В. Трямкин // Известия

вузов. Математика. – 2013. – № 5. – С. 64–68.

A2. Трямкин, М. В. Свойство морфизма субэллиптических уравнений на

группе поворотов-сдвигов / М. В. Трямкин // Сибирский математиче-

ский журнал. – 2015. – Т. 56, № 5. – С. 1171–1194.

A3. Трямкин, М. В. Оценки на модули семейств кривых для отображений

с весовым ограниченным (p,q)-искажением / М. В. Трямкин // Влади-

кавказский математический журнал. – 2015. – Т. 17, вып. 3. – С. 65–74.

A4. Трямкин, М. В. ACL-свойство квазиконформных отображений про-

странств Карно–Каратеодори и функции класса BMO / М. В. Трям-

кин // Материалы школы-конференции по геометрическому анализу. –

Горно-Алтайск: РИО ГАГУ. – 2012. – С. 56.

A5. Трямкин, М. В. ACL-свойство квазиконформных отображений про-

странств Карно–Каратеодори и функции класса BMO [Электронный

ресурс] / М. В. Трямкин // Дни геометрии в Новосибирске, 2012: Тези-

сы международной конференции. Новосибирск. – 2012. – Режим доступа:

http://math.nsc.ru/conference/geomtop2012/abstracts/Tryamkin .pdf

A6. Трямкин, М. В. Отображения с ограниченным искажением на груп-

пе поворотов-сдвигов / М. В. Трямкин // Международная школа-

конференция «Управление и оптимизация неголономных систем». Те-

зисы докладов. – Переславль-Залесский: изд. «Университет города Пе-

реславля». – 2013. – С. 40–41.

A7. Tryamkin, M. Analytical Properties of Sobolev Mappings on Roto-Translation

Groups / M. Tryamkin // International Youth Conference “Geometry and

Control”. Abstracts. – Moscow: Steklov Mathematical Institute, Russian

Academy of Sciences. – 2014. – P. 42–43.

A8. Трямкин, М. В. Отображения с ограниченным искажением на группе

поворотов-сдвигов / М. В. Трямкин // Материалы школы-конференции

по геометрическому анализу. Горно-Алтайск: РИО ГАГУ. – 2014. – С. 29–

31.

A9. Трямкин, М. В. Оценки на модули семейств кривых для отображений

с весовым ограниченным (p,q)-искажением / М. В. Трямкин // Дни

геометрии в Новосибирске – 2015: Тезисы международной конферен-

ции. – Новосибирск: Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН. –

2015. – С. 63–64.

16

Трямкин Максим Владимирович

Актуальные вопросы теории отображений с

ограниченным искажением на метрических структурах

Автореферат диссертации на соискание учёной степени

кандидата физико-математических наук

Подписано в печать 06.10.2015 г.

Офсетная печать. Формат 60 × 84 1/16.

Усл. печ. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ №.

Отпечатано в ИП Малыгин А. М.

пр. Ак. Лаврентьева, 6/1, оф. 104, Новосибирск 630090



Похожие работы:

«Нa прaвaх рукопиcи КОРЗУНИН Андрей Влaдимирович ПCИХОФИЗИОЛОГИЧЕCКИЕ КРИТЕРИИ ОЦЕНКИ НЕРВНО-ПCИХИЧЕCКОЙ УCТОЙЧИВОCТИ В ПРОЦЕCCЕ ВОЕННО-ПРОФЕCCИОНАЛЬНОЙ АДАПТАЦИИ ВОЕННОCЛУЖАЩИХ 19.00.02 – пcихофизиология АВТОРЕФЕРАТ диссертации нa cоиcкaние ученой cтепени кaндидaтa медицинcких нaук Санкт-Петербург 2015 2 Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном военном образовательном учреждении высшего профессионального образования Военно-медицинская академия имени С.М. Кирова Министерства...»

«Евглевский Дмитрий Анатольевич ЛЕЧЕБНО-ПРОФИЛАКТИЧЕСКИЕ ПРЕПАРАТЫ НА ОСНОВЕ ТОКСИН-ПРОДУЦИРУЮЩИХ МИКРООРГАНИЗМОВ ДЛЯ АГРОПРОМЫШЛЕННОГО КОМПЛЕКСА 06.02.02 – ветеринарная микробиология, вирусология, эпизоотология, микология с микотоксикологией и иммунология, АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени доктора ветеринарных наук Щёлково– 2015 1 премий РФ, Заслуженный деятель науки РФ Анатолий Яковлевич Самуйленко Официальные оппоненты: Букова Наталия Константиновна –...»

«Казакова Екатерина Владимировна ЕЖЕДНЕВНАЯ ОЦЕНКА ЛОКАЛЬНЫХ ЗНАЧЕНИЙ И ОБЪЕКТИВНЫЙ АНАЛИЗ ХАРАКТЕРИСТИК СНЕЖНОГО ПОКРОВА В РАМКАХ СИСТЕМЫ ЧИСЛЕННОГО ПРОГНОЗА ПОГОДЫ COSMO-RU 25.00.30 – метеорология, климатология, агрометеорология АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Москва – 2015 Работа выполнена в ФГБУ Гидрометцентр России Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Ривин Гдалий Симонович Официальные...»





 
© 2015 www.x-pdf.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.