авторефераты диссертаций www.x-pdf.ru
БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА
 

3

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы.

В современных условиях защита элементов конструкций космических

аппаратов от высокоскоростных локализованных внешних воздействий не име-

ет исчерпывающего решения и остается весьма актуальной при внедрении но-

вых материалов и защитных элементов конструкций.

В силу динамического характера, при моделировании и исследовании

процессов данного класса необходимо учитывать нестационарные явления ме-

ханики деформируемого твердого тела. Динамические задачи приобретают все

большую актуальность в силу увеличиваемых требований к объектам эксплуа-

тации. Тем не менее, в большинстве работ анализ процесса проводится в пред-

положении о стационарном характере задачи.

Численное решение задачи о воздействии подвижной нагрузки на упругие

конструкции не обеспечивает возможность качественного анализа динамиче-

ского процесса и должно быть дополнено аналитическими решениями, позво-

ляющими, хотя бы в приближенной постановке задачи, определить критические

скорости движения нагрузки. При этом одним из наиболее эффективных под-

ходов к аналитическому исследованию нестационарных процессов указанного

класса является развитие аппарата переходных функций.

Диссертационная работа посвящена аналитическому исследованию не-

стационарного воздействия подвижных нагрузок на упругую полуплоскость.

Целью работы является постановка задачи о воздействии подвижной

нагрузки на упругую полуплоскость, построение ее аналитического решения и

исследование нестационарной реакции полуплоскости при всевозможных зна-

чениях параметров процесса.

Научная новизна диссертационной работы заключается в следующем:

- впервые получено и исследовано аналитическое решение нестационар-

ной задачи о равномерном движении сосредоточенной нагрузки по границе

упругой полуплоскости на произвольном временном интервале;

4

- предложен метод решения этой задачи для случая произвольного закона

движения;

- разработан и реализован численно-аналитический алгоритм, позволяю-

щий строить решение при произвольном режиме движения.

Практическая значимость работы заключается в построении точных

решений задач о воздействии подвижной нагрузки на упругую полуплоскость.

Они могут быть использованы в качестве основы для решений более сложных

задач о подвижных распределенных нагрузках, нестационарных контактных за-

дач с подвижными штампами, для оценки точности численных и приближен-

ных решений, а также могут быть полезны для различных технических прило-

жений при проектировании современных ракетно-космических объектов,

например, в задачах прогнозирования процесса посадки космических аппаратов

на грунт, а также в области развития скоростного наземного транспорта.

Достоверность и обоснованность изложенных в диссертации результа-

тов подтверждается использованием в постановке задач апробированной моде-

ли упругой среды, применением строгого математического аппарата, а также

построением решений на основе известных результатов для плоских задач.

Методы исследования. В работе проводится математическая постановка

нестационарной задачи о воздействии подвижной нагрузки на упругую полу-

плоскость с использованием потенциалов упругих смещений, а также аппарата

обобщенных функций. Метод решения задачи основан на принципе суперпози-

ции. Искомые перемещения определяются с помощью двойной свертки напря-

жений, заданных на границе полуплоскости, с функцией влияния. В роли функ-

ции влияния выступает известное решение задачи Лэмба. Для выделения и ис-

следования особенностей в окрестности положений фронтов поверхностных и

объемных упругих волн, в окрестности подвижной точки приложения нагрузки,

а также для исследования случаев критических скоростных режимов движения

нагрузки используется асимптотический анализ интегралов, входящих в пред-

ставление решения.

5

Основные положения, выносимые на защиту.

Получено аналитическое решение задачи о воздействии движущейся с

постоянной скоростью сосредоточенной нагрузки на упругую полуплоскость на

произвольном временном интервале.

Проведен анализ построенных решений при всевозможных значениях

параметрах процесса.

Разработан численно-аналитический алгоритм решения задачи о воздей-

ствии на упругую полуплоскость движущейся по произвольному закону сосре-

доточенной нагрузки.

Апробация результатов работы.

Материалы диссертационной работы докладывались на следующих науч-

ных конференциях:

– XVI-XXI Международные симпозиумы «Динамические и технологиче-

ские проблемы механики конструкций и сплошных сред» им. А.Г. Горшкова

(Россия, Москва, 2012-2015);

– конференция Ломоносовские чтения 2013 (Москва, МГУ им. Ломоносо-

ва 23 апреля 2013 г.);

– X Международная научная конференция «Импульсные процессы в ме-

ханике сплошных сред» ( Украина, Николаев, 2013);

– Международная научная конференция «Современные проблемы мате-

матики, механики, информатики» (Тула. 2014);

– XI Всероссийский съезд по фундаментальным проблемам теоретиче-

ской и прикладной механики (Казань, 2015);

– I и II Международные научные семинары «Динамическое деформиро-

вание и контактное взаимодействие тонкостенных конструкций при воздей-

ствии полей различной физической природы» (Россия, Москва, МАИ, 2014,

2015).

6

Публикации. По теме диссертации опубликовано 14 работ, в том числе 2

в журналах из перечня, рекомендованного ВАК РФ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав,

заключения и списка литературы, состоящего из 61 наименования. Общий объ-

ем диссертации – 96 страниц, 16 рисунков и 4 таблицы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность выбора темы диссертационной ра-

боты, сформулированы цель, научная новизна, защищаемые положения и прак-

тическая значимость работы. Кратко изложена структура диссертации.

В главе 1 «Постановка нестационарной задачи о движении сосредото-

ченной нагрузки по границе упругой полуплоскости» описано современное со-

стояние исследований в области изучаемого процесса, представлен обзор лите-

ратуры.

Дана общая постановка задач плоского движения однородной изотропной

упругой среды с использованием потенциалов упругих смещений ϕ и ψ , вклю-

чающая в себя:

уравнения движения среды в компонентах потенциалов

(1)

где ϕ, ψ – скалярный и векторный потенциалы упругих смещений. Точкой

здесь и далее обозначена производная по безразмерному времени τ , Oxz

прямоугольная декартова система координат.

граничные условия одного из следующих трех типов:

а) кинематические граничные условия

(2)

где u(x, z,τ) , w(x, z,τ) – компоненты вектора перемещений; U (x, z,τ), W (x, z,τ)

– компоненты заданного вектора, Γ – граница исследуемой области;

б) силовые граничные условия

σijνj

Γ = pi(x, z,τ), (i, j =1,3), (x, z)∈Γ,

(3)





ϕ = ∆ϕ, η2ψ = ∆ψ, ∆ =

+

,

u(x, z,τ) = U (x, z,τ), w(x, z,τ) = W (x, z,τ), (x, z)∈Γ.

ΓΓ

∂2

∂2

x2

z2

(4)

σijνj

7

где σij – компоненты тензора напряжений, pi – компоненты заданного вектора

внешней нагрузки;

в) граничные условия смешанного типа

u(x, z,t)

= U (x, z,t), w(x, z,t)

= W (x, z,t), (x, z)∈Γu,

Γu

Γu

= pi(x, z,t),(i, j =1,3), (x, z)∈Γ,

Γσ

σ

где Γ=Γu Γ Γ,ν – компоненты вектора ν внешней нормали к кривой Γ ;

В постановке задачи используется следующая система безразмерных ве-

личин:

′′1

L

L

L

L

L

L2

L2

c1

cR

λ

2

c2

c1

λ+ 2µ

λ+ 2µ

η2

Здесь t – размерное время; c1, c2 – скорость волн растяжения-сжатия и сдвига;

λ, µ -упругие постоянные Ламе; cR – скорость поверхностных волн Рэлея; L

некоторый линейный размер.

Далее рассматривается нестационарное движение сосредоточенной нор-

мальной нагрузки по границе упругой полуплоскости. В начальный момент

времени τ= 0 по нормали к свободной границе z = 0 невозмущенной однород-

ной изотропной упругой полуплоскости z ≥ 0 прикладывается нормальная со-

средоточенная нагрузка q . Она перемещается в положительном направлении

оси Ox по заданному закону x = f (τ) (рис. 1):

(

)

( ) [

]

Здесь и далее H – функция Хевисайда, δ – дельта-функция Дирака.

σ

j

x

z

ct

u

w

ϕψ

x =

, z =

, τ=

, u =

, w =

, ϕ=

, ψ=

,

σij

η=

, cR =

, σij =

, κ=

=1-

.

q x,τ = H τ δ x - f (τ).

( )

( )

8

Постановка задачи включает в себя уравнения движения (1), нулевые

начальные условия:

(5)

(6)

ϕ

= ϕ

= 0, ψ

= ψ

= 0

и граничные условия:

σ13

= 0, σ33 z=0 = -q x,τ,

u = O 1, w = O 1, при r →∞, r = x2 + z2.

Для сведения поставленной задачи к разрешающему интегральному соот-

ношению используется метод суперпозиции:

(7)

где знаком ∗∗ обозначена двойная свертка функций по пространственной и

w0(x,τ) – нормальные перемещения границы полу-

временной координатам;

плоскости; Gf x

(8)

С учетом свойств дельта-функции, интегральное представление (7) сво-

дится к одномерному интегралу по времени:

2

τ=0

τ=0

τ=0

τ=0

(

)

z=0

( )

( )

w0 x,τ = -Gf x,τ ∗∗q x,τ,

(

)

(

)

(

)

G

j

(

)– функция влияния – решение задачи Лэмба

2

Gf (x,τ) =

(x,τ)H (τ-ηj x ),

j=1

g x2,τ2 k x2,τ2

Gj (x,τ) =

πη4P3 x2,τ2

(

)

(

)

(

)

(

) (

) (

)

jj

(

) (

),

(

)

2

g1 x,τ = η2x - 2τ, g2 x,τ = 4τ τ - x ,

k1(x,τ) = τ- x, k2(x,τ) = τ-η2x, P3(x,τ) = P1 xP2 x,τ, P1 x,τ = x - cRτ,

(

)

16 η2 -1

(

), η1

=1, η2

=η.

η8cR

, β2=

2

2

4

cR

η2

2

P2 x,τ = x2 - 2α2xτ+β2τ2,α2 =

-

(

)

τ

w0 x,τ = -

( - f (t),τ- t dt = -

(

)

0

2

f

w

x,τ,

j=1

(

)

)

τ

(

)

)

0

j

G

x

(9)

wj x,τ =

x - f (t),τ - t H τ - t - ηj x - f (t) dt.

(

)

j

G (

f (τ) = V τ, V = const.

(10)

Выражение для перемещений границы полуплоскости (9) с учетом

свойств функции Хевисайда и закона движения (10) будет иметь вид:

9

В главе 2 «Равномерное движение сосредоточенной поверхностной

нагрузки» рассматривается случай, когда сосредоточенная нагрузка движется

по границе упругой полуплоскости с постоянной скоростью:

(11)

(12)

Решения неравенств (12) удобно получить графоаналитическим способом

с учетом трех характерных режимов движения нагрузки: сверхзвуковой V 1,

трансзвуковой 1 η V 1 и дозвуковой V 1 η. Он продемонстрирован на при-

мере сверхзвукового режима движения с помощью рис. 2.

Рис. 2.

τ

j 2

2

w0 x,τ = -

(

)

(

)

(

)

(

)

w x,τ,wj

x,τ =

Gj

x -Vt,τ- t

dt.

j

j=1

τ

j1

где τ, τ

являются границами области решений системы неравенств

τ- t

τ- t

ηj

ηj

j1

j 2

0 t τ, -

x -Vt

.

, штриховые –

Как видно из рис. 2, эти области геометрически представляют собой

треугольники с вершинами τ,0, 0,±τ ηj. Фиксируя определенное значение

V 1

и перемещая прямую

в вертикальном направлении

10

Сплошные линии соответствуют прямым ξ=±

параллельно самой себе, получаем 6 характерных случаев относительного

Dj

L . Здесь

расположения областей

и прямой

круглыми и квадратными

маркерами обозначены точки пересечения прямой L с границами областей D1

и D2 соответственно. Абсциссы точек пересечения в случае не равенства их

нулю находятся как решения уравнений

x -Vt = ±

t = t , t ,

(13)

Аналогично определяются все возможные случаи значения пределов в

(11) при двух других характерных режимах движения нагрузки.

Далее с использованием замены переменной

(14)

τ- t

η

ξ=± τ- t , а штрихпунктирная – ξ= x -Vt . Пределы τk1, τk 2 являются абсцис-

сами точек пересечения прямой ξ= x -Vt с границами областей

(

)

Dj =

t,ξ :0 t τ, -

( )

τ- t

τ - t

ηj

ηj

, j

=1,2.

ξ

(

)

(

)

L : ξ= x -Vt

τ- t

ηj

j1

j2

τ+ηjx

ηjx

τ t =

t =

0.

Vηj +1

Vηj -1

j2

j1

x -Vt

τ- t

y =

выражения для wj x записываются следующим образом:

(

)

( )

(

)(

)

(-y

g+ i 2 β-α2

g = 2 α2 +β, c =

(15)

11

j 2

С использованием замены переменной

формулу для нормальных перемещений границы полуплоскости:

Пределы интегрирования в (16) определяются из (13), (14).

Как видно из представления (16), для проведения расчетов и выделения

характерных особенностей решения, необходимо исследовать свойства инте-

грала вида

(17)

При этом параметр a может быть как действительным, так и комплекс-

ным. При a R возможны такие варианты: a z1, z2, a z1, z2. В последнем

z = ηj y , получаем следующую

g

y2,1

(

)

j

Gj y =

( )

,

y2

2

( ) (-y

)

(

)

Gj y,1

1

1

=

y

( -V

1-η2 y2

πη4 y

)

j

y

wj x,τ =

Gj y

1-η2 y2dy,

(

)

( )

j

y

(

)

j1

Q2 y = y2 +gy +β= y + c y + c , Q2

= y - c y - c ,

-V

- cR Q2 y Q2

) (

)(

)

(

).

2

(

)

Раскладывая функцию Gj y на сумму элементарных дробей

7

Gj y =

,

l=1

b1 = V , b2 = cR, b3 = -cR, b4 = c, b5 = c, b6 = -c, b7 = -c,

g (bl2,1)

ajl =

,

πη4

7

- br )

r=1

rl

( )

( )

1

ajl

y - bl

j

∏(bl

2

7

w0 x,τ = -

(

)

(

)

j=1

l=1

(

)

(

)

(16)

w x,τ,wj

x,τ = ∑a I

x,τ;cjl

,

j

jl

jl

z

j 2

1- z2

z - cjl

I

x,τ;cjl =

dz, cjl = ηjbl.

(

)

jl

z

j1

z2

z1

I a =

( )

1- z2

dz, z1, z2 ∈

.

z - a

[

]

[

]

[-1,1

]

(18)

при a 1;

при a 1;

При a C этот интеграл записывается так:

( )

(

)

(

)

12

случае интеграл (17) – сингулярный и понимается в смысле главного значения

по Коши.

При a R, a z1, z2

подынтегральная является непрерывной действи-

тельной, следовательно, для (17) применима формула Ньютона-Лейбница:

1

1- a2

Доказываются следующие утверждения.

Утверждение 1. Главное значение интеграла (17) определяется формулой

(18).

Следствие. Утверждение 1 дает основание для вычисления регулярных и

сингулярных интегралов, входящих в интегральное представление решения, с

помощью одних и тех же формул (18).

Утверждение 2. В случае a R, a z2 ± 0 значение интеграла (17) стре-

мится к +∞ по логарифмическому закону. В случае a R, a z1 ± 0 значение

интеграла (17) стремится к -∞ по логарифмическому закону.

Утверждение 3. В случае a R, z2 → a ± 0 значение интеграла (17) стре-

мится к +∞ по логарифмическому закону. В случае a R , z1 → a ± 0 значение

интеграла (17) стремится к -∞ по логарифмическому закону.

[

]

I a = J z2;a - J z1;a ,

( )

(

)

(

)

1- z2 + aarcsin z + 1- a2 ln Χ(z;a)

1- z2 + aarcsin z + 2 a2 -1arctg

1+ z

1+ z

1- z

1- z

1- a 1+ z - 1+ a 1- z

1- a 1+ z + 1+ a 1- z

J z;a =

(

)

Χ(z;a) =

a -1 1+ z

a +1 1- z

- 2arctg

при a =1;

.

I a = Jc z2,a - Jc z1,a ,

(19)

Jc z;a = 1- z2 + aarcsin z +

(

)

ln Χ(z;a),

(

)

13

Далее дается анализ полученных решений для следующих характерных

скоростных диапазонов нагрузки:

– сверхзвуковой – V 1;

– трансзвуковой – 1 η V 1;

– дозвуковой – 0 V 1 η.

Проводится исследование решения при критических режимах движения:

– движение нагрузки со скоростью волн расширения-сжатия V =1;

– движение нагрузки со скоростью волн сдвига V =1 η;

– движение нагрузки со скоростью волн Рэлея V = cR .

В результате анализа построенных решений, с использований утвержде-

ний 1-3, были получены следующие свойства.

Сверхзвуковой режим V 1.

Перед текущим положением подвижной нагрузки перемещения отсут-

ствуют:

w0(x,τ) = 0 при x V τ.

В области между положением нагрузки и фронтом волны растяжения

сжатия перемещения постоянны:

w0(x,τ) = const при τ x V τ.

На интервале x∈ -τ,τ решения непрерывны и определяются согласно

формулам (16) везде, кроме точек, соответствующих положений фронтов волн

Рэлея

(

)

) {

}

В точках, соответствующих фронтам волн Рэлея имеется логарифмиче-

ская особенность:

(

)

(

)

В точке, текущего приложения нагрузки, имеется конечный скачок:

(

)

- w0 x

→ 0, ε → +0. при x = V τ.

(

)

)

w0 x,τ ∈C при xx∈ -τ,τ \ ±cRτ.

w0 x ±ε,τ ±Aln ε ε→+0, A = const при x cRτ.

w0 x

(

)

x=τ η-ε

x=τ η+ε

формулам (16) везде, кроме точек, соответствующих положению фронтов волн

Рэлея и подвижной нагрузки:

(

)

(-τ,τ \ ±cRτ,V τ.

В точках, соответствующих фронтам волн Рэлея и приложенной нагрузке

имеется логарифмическая особенность:

(

)

(

)

(

)

(

)

Дозвуковой режим V 1/ η.

Перед фронтом волны растяжения-сжатия перемещения отсутствуют:

w0(x,τ) = 0 при x τ.

14

(

)

формулам (16) везде, кроме точек, соответствующих фронтам волн Рэлея и

приложенной нагрузке:

(

)

(-τ,τ \ ±cRτ,V τ.

В точках, соответствующих фронтам волн Рэлея текущему положению

нагрузки наблюдается логарифмическая особенность:

(

)

(

)

(

)

(

)

Критические режимы движения нагрузки.

Из анализа полученных решений при движении сосредоточенной нагруз-

ки с критическими скоростями получены следующие результаты.

Нагрузка движется со скоростью распространения волн растяжения-

сжатия.

На интервале x

[-τ,τ решения непрерывны и определяются согласно

]

Трансзвуковой режим 1/ η V 1.

Перед фронтом волны растяжения-сжатия перемещения отсутствуют:

w0(x,τ) = 0 при x τ.

w0 x,τ ∈C при x

) {

}

w0 x ± ε,τ ±Aln ε ε→+0, A = const при x = V τ

w0 x ± ε,τ ±Bln ε ε→+0, B = const при x = ±cRτ

(

)

На интервале x

[-τ,τ решения непрерывны и определяются согласно

]

w0 x,τ ∈C при x

) {

}

w0 x ± ε,τ ±Aln ε ε→+0, A = const при x = V τ,

w0 x ± ε,τ ±Bln ε ε→+0, B = const при x = ±cRτ.

15

В точке наблюдения, соответствующей текущему положению нагрузки

наблюдается конечный скачок. Во всей остальной области изменения простран-

ственной координаты, свойства решений совпадают с полученными для движе-

ния на сверхзвуковом скоростном диапазоне.

Нагрузка движется со скоростью распространения волн сдвига.

В точке наблюдения, соответствующей приложенной нагрузки наблюда-

ется логарифмическая особенность:

(

)

(

)

Во всей остальной области изменения пространственной координаты,

свойства решений совпадают с полученными для движения на трансзвуковом

скоростном диапазоне.

Нагрузка движется со скоростью распространения волн Рэлея.

В точке наблюдения, соответствующей приложенной нагрузки наблюда-

ется степенно-логарифмическая особенность:

(

)

(

)

ε

Во всей остальной области изменения пространственной координаты,

свойства решений совпадают с полученными для случая трансзвуковго ско-

ростного диапазона.

В главе 3 «Движение нагрузки по произвольному закону» представлен

численно-аналитический метод решения изучаемой проблемы для случая про-

извольного закона движения нагрузки f (t). Метод основан на линейной интер-

поляции произвольного закона движения:

(20)

w0 x ±ε,τ ±Aln ε ε→+0, A = const при x = τ.

1

w0 x ±ε,τ Aln ε B

ε→ 0, A = const, B = const при x = cRτ.

n

f (t) ≈

fk-1 +Vk (t - tk-1) H (t - tk-1)H (tk - t),

k=1

fk-1 = f (tk-1), Vk =

.

tk - tk-1

Здесь tk , tk-1 – узлы интерполяции.

)

∑(

fk

(21)

ние для перемещений:

w0 x,τ = -

(

)

(

)

j=1

k=1 l=1

16

Таким образом, единственное требование, накладываемое на закон дви-

жения – требование монотонности закона движения на временных интервалах

t ∈[tk-1,tk ].

Выражения для перемещений (9), с учетом интерполяции (20) приобре-

тают вид:

bk1 = Vk ,bk

2 = cR, bk

3 = -cR, bk 4 = c, bk 5 = c, bk 6 = -c, bk 7 = -c,

ajkl =

Как видно из (22), в случае произвольного закона движения нагрузки за-

дача сводится к анализу n задач с нагрузкой, движущейся с постоянной скоро-

стью. По этой причине все выводы об особенностях, содержащихся в решении

задачи, полученные в предыдущей главе, справедливы и для произвольного за-

кона движения нагрузки.

В работе представлены графические результаты для распределения нор-

мальных перемещений границы полуплоскости от координаты x для следую-

щих случаев (рис. 3а-г).

2

n

w0 x,τ = -

(

)

(

)

tk

wjk (x,tk ) =

Gjpk x,t ,∆tH t j

tk -1

xk = x - fk-1 +Vtk-1, pk (x,t) = xk -Vt.

(

)

w x,τ, wj

x,τ = ∑w (x,tk ),

j=1

k=1

j

jk

( )

(



k

k

Пределы интегрирования tk-1, tk в (21), как и в предыдущей главе, опре-

деляются графоаналитическим методом.

Проводя разложение на элементарные дроби (15) и производя замену пе-

ременной z j pk (x,t) / τ- t, получим следующее интегральное представле-

pk (x,t) dt,

)

(

)

2

g

bkl

,1



( )

j



,

7

r=1

πη4

bkl - bkr

rl

(

)

zk 2

zk1

j

2

n

7

w x,τ,wj

x,τ = ∑∑I , I

= ajkl

z

jbkl

j

k z2,1

(

)dz.

(22)

j

(

)

j

jkl

jkl

17

Рис. 3а. Нагрузка движется с постоянной скоростью V 1/ η.

Рис. 3б. Нагрузка движется с постоянной скоростью 1/ ηV 1

w0

Рис. 3в. Нагрузка движется с постоянной скоростью V 1.

18

Рис. 3г. Нагрузка движется по закону: f (τ) =1.3τ2 + 0.1/ η τ .

Здесь, штриховые асимптоты соответствуют положению фронта движе-

ния нагрузки (длинный штрих) и фронтам волны Рэлея (короткий штрих).

Штриховые пунктирные асимптоты соответствуют положению фронтов волны

сдвига.

(

)

19

Основные результаты и выводы.

1. Построено аналитическое решение задачи о воздействии подвижной

сосредоточенной нагрузки на упругую полуплоскость в случае равномерного

режима движения.

2. Полученное решение полностью исследовано во всем диапазоне изме-

нения параметров процесса.

3. Аналитически выделены и исследованы особенности решения.

4. Предложен метод, построен и реализован алгоритм решения задачи о

движении нагрузки по произвольному временному закону.

Публикации по теме диссертации

1.

Игумнов Л.А., Оконечников А.С., Тарлаковский Д.В., Белов А.А.

Плоская нестационарная задача о движении поверхностной нагрузки по упру-

гому полупространству // Математические методы и физико-механические поля

- 2013.- Т.56, № 2. – С. 157 -163. Перевод: L.A. Igumnov, A.S. Okonechnikov,

D.V. Tarlakovskii, and G.V. Fedotenkov Plane nonstationary problem of motion of

the surface load over an elastic half-space // Journal of Mathematical Sciences. Vol.

174. No. 2. February. 2014. P 193-201. DOI 10.1007/s10958-014-2100-z.

2.

Оконечников А.С., Тарлаковский Д.В., Федотенков Г.В. Нестацио-

нарное движение нормальной сосредоточенной нагрузки вдоль границы упру-

гой полуплоскости // Электронный журнал Труды МАИ – 2015., – №82,

https://www.mai.ru/upload/iblock/0f1/okonechnikov_tarlakovskiy_fedotenkov_rus.p

df.

3.

Оконечников А.С., Федотенков Г.В. Нестационарные задачи о дви-

жении нагрузки вдоль поверхности упругой полуплоскости // Матер. ХVIII

Междунар. симп. «Динам. и технолог. пробл. мех. констр. и сплош. сред» им.

А.Г. Горшкова - М., 2012., том 2 - С. 56-58.

4.

Оконечников А.С., Федотенков Г.В. Нестационарная задача о движе-

нии сосредоточенной нагрузки вдоль упругой полуплоскости // Сборник тези-

сов докладов конференции «Инновации в авиации и космонавтике - 2012». - С-

Пб.: ООО «Принт-салон», 2012. - С. 279-280.

20

5.

Оконечников А.С., Федотенков Г.В. Плоская нестационарная задача о

движении поверхностной нагрузки по упругому полупространству // Нестацио-

нарные процессы деформирования элементов конструкций, обусловленные

воздействием полей различной физической природы. – Львов: ИППММ им.

Я.С. Подстригача. – 2012. – С. 131 – 135.

6.

Оконечников А.С., Тарлаковский Д.В., Федотенков Г.В. Плоская не-

стационарная задача о равноускоренном движении сосредоточенной поверх-

ностной силы по упругому полупространству // Матер. ХIХ междунар. симп.

«Динам. и технолог. пробл. мех. констр. и сплош. сред» им. А.Г. Горшкова - М.,

2013., том 2 - С. 32-35.

7.

Оконечников А.С., Тарлаковский Д.В., Федотенков Г.В. Нестацио-

нарная задача о равноускоренном движении состредоточенной нагрузки вдоль

границы упругой полуплоскости. // Ломоносовские чтения. Тезисы докладов

научной конференции. Секция механики. 15–23 апреля 2013 г., Москва, МГУ

имени М. В. Ломоносова. – М.: Издательство Московского университета, 2013.

- С. 130.

8.

Бугаев Н.М., Оконечников А.С., Тарлаковский Д. В., Федотенков Г.В.

Плоская нестационарная задача о равноускоренном движении сосредоточенной

силы вдоль границы упругого полупространства // Сучастнi проблеми механи-

ки та математики. Т. 1. – Львiв, IППММ iм. Я.С. Пiдстригача НАН України,

2013. – С. 78 - 80.

9.

Оконечников А.С., Тарлаковский Д.В., Федотенков Г.В. Плоская не-

стационарная задача о движении сосредоточенной нагрузки вдоль поверхности

упругого полупространства по произвольному временному закону // Матер. Х

Междунар. научн. конф. «Импульсные процессы в механике сплошных сред» –

Николаев: КП «Миколаiвська областна друкарня», 2013. - С. 36-39.

10. Оконечников А.С., Федотенков Г.В. Нестационарная задача о движе-

нии сосредоточенной нагрузки вдоль границы упругой полуплоскости // Матер.

ХХ междунар. симп. «Динам. и технолог. пробл. мех. констр. и сплош. сред»

им. А.Г. Горшкова - М., 2014., том 2 - С. 34-35.

21

11. Оконечников А.С., Тарлаковский Д.В., Федотенков Г.В. Нестационар-

ное воздействие подвижной сосредоточенной нагрузки на границу упругой по-

луплоскости // Междунар. научн. конф. «Совр. пробл. матем. механ. инф.» Ту-

ла. 2014. – С. 332-333.

12. Оконечников А.С., Федотенков Г.В. Нестационарная реакция упругой

полуплоскости на воздействие нормальной подвижной сосредоточенной

нагрузки // XI Всероссийский съезд по фунд. пробл. теоретич. и прикл. механ.-

Казань, 2015, Аннотации докладов. – С. 210.

13. Кузнецова Ел.Л., Оконечников А.С., Онджелик О. Нестационарное

воздействие подвижной сосредоточенной нагрузки на упругую полуплоскость

// II межд. научн. семинар «Динамич. деформир. и конт. взаимодействие тонко-

стенных констр. при возд. полей различной физич. природы» - М., 2015 – С. 69.

14. Оконечников А.С., Федотенков Г.В. Исследование воздействия по-

движной сосредоточенной нагрузки на упругую полуплоскость // Матер. ХХI

междунар. симп. «Динам. и технолог. пробл. мех. констр. и сплош. сред» им.

А.Г. Горшкова - М., 2015., том 2 - С. 55-56.



Похожие работы:

«Танйылдызы Шюкрю Ханиф Редкие распады мезонов и бозоны Хиггса в рамках суперсимметричных расширений Стандартной модели Специальность 01.04.02 — Теоретическая физика Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук Дубна — 2015 Ведущая организация: Национальный исследовательский центр Курчатовский институт, ФГБУ ГНЦ Институт физики высоких энергий Работа выполнена в Лаборатории теоретической физики Объединенного института...»

«Богданов Святослав Вадимович КУЛЬТУРОТВОРЧЕСКИЙ И ВОСПИТАТЕЛЬНЫЙ ПОТЕНЦИАЛ ДВИЖЕНИЯ ВОЕННО-ИСТОРИЧЕСКОЙ РЕКОНСТРУКЦИИ В РОССИИ 24.00.01 – Теория и история культуры Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата культурологии Саратов 2015 Научный руководитель: Официальные оппоненты: Ведущая организация: доктор философских наук, профессор Волошинов Александр Викторович Мезин Сергей Алексеевич, доктор исторических наук, профессор, заведующий кафедрой истории...»

«Трямкин Максим Владимирович Актуальные вопросы теории отображений с ограниченным искажением на метрических структурах 01.01.01 — вещественный, комплексный и функциональный анализ Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук Новосибирск — 2015 Работа выполнена в Федеральном государственном автономном образовательном учреждении высшего образования Новосибирском национальном исследовательском государственном университете....»





 
© 2015 www.x-pdf.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.